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高一地理第二學期期末考試題：
一、填空題(本大題共14題，每題4分，滿分56分)
1.設復數(shù) 滿足 ,則 ______ ______。
2.三個平面最多把空間分割成 8 個部分。
3.若圓錐的側面展開圖是半徑為2、圓心角為180的扇形，則這個圓錐的體積是 。
4.如圖,在正三棱柱 中, ,異面直線 與 所成角
的大小為 ,該三棱柱的體積為 。
5. 的展開式中的常數(shù)項是 60 。
6.8名同學爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有 512 種。
7.將三個1、三個2、三個3填入33的方格中，要求每行、每列都沒有重復數(shù)字，則不同的填寫方法共有 12 種。
8.用4種顏色給一個正四面體的4個頂點染色，若同一條棱的兩個端點不能用相同的顏色，那么不同的染色方法共有_____24________種。
9.從 個正整數(shù) 中任意取出兩個不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于 的概率為 ,則 8 。
10.用0、1、2、3、4、5組成一個無重復數(shù)字的五位數(shù)，這個數(shù)是偶數(shù)的概率為 。
11.設復數(shù) ， ， 在復平面上所對應點在
直線 上，則 = 。
12.如圖是一個正方體的表面展開圖，A、B、C均為棱的中點，D是頂點，
則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為 。
13.在直三棱柱 中，底面ABC為直角三角形， ， . 已知G與E分別為 和 的中點，D與F分別為線段 和 上的動點(不包括端點). 若 ，則線段 的長度的最小值為 。
【解】建立直角坐標系，以A為坐標原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，則 ( )， ， ， ( )。所以 ， 。因為 ，所以 ，由此推出 。又 ， ，從而有 。
14.一個半徑為1的小球在一個內壁棱長為 的正四面體封閉容器內可向各個方向自由運動，則該小球表面永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是 .
[解] 如答12圖1，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為 ，作平面 //平面 ，與小球相切于點 ，則小球球心 為正四面體 的中心， ，垂足 為 的中心.
因
，
故 ，從而 .
記此時小球與面 的切點為 ，連接 ，則
.
考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為 )相切時的情況，易知小球在面 上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為 ，如答12圖2.記正四面體
的棱長為 ，過 作 于 .
因 ，有 ，故小三角形的邊長 .
小球與面 不能接觸到的部分的面積為(如答12圖2中陰影部分)
.
又 ， ，所以
.
由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內壁的面積共為 .
二、選擇題(本大題共4題，每題5分，滿分20分)
15. 已知 為異面直線, 平面 , 平面 .平面與外的直線 滿足 ,則(D )
A. ,且 B. ,且
C. 與 相交,且交線垂直于 D. 與 相交,且交線平行于
16. 如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為 ( A )
A. B. C. D.
17.三個人乘同一列火車，火車有10節(jié)車廂，則至少有2人上了同一車廂的概率為 ( B )
A. B. C. D.
18. 除以100的余數(shù)是(C)
A.1 B.79C.21D.81
解：
=
= 4
即 除以100的余數(shù)為21。
三、解答題(本大題共5題，滿分74分12+14+14+16+18=74)
19.如圖，AB是底面半徑為1的圓柱的一條母線，O為下底面中心，BC是下底面的一條切線。
(1)求證：OB
(2)若AC與圓柱下底面所成的角為30，OA=2。求三棱錐A-BOC的體積。
解：(1)連結OB，由圓的切線性質有OBBC，而BC是AC在底面⊙O
上的射影，OB平面ABC，OBAC。
(2)在RtOA B中，AB= .
又∵ACB就是AC與底面⊙O所成角， ,
20.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為8，側棱長為6，D為AC中點。
(1)求證：直線AB1∥平面C1DB;
(2)求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值。
證明：(1)連B C交 于E，連DE, 則DE∥ ，
而DE 面C DB， 面C DB，
(2)由(1)知DEB為異面直線 所成的角，在
。
21.已知：對于任意的多項式 與任意復數(shù)z， 整除 。利用上述定理解決下列問題：
(1)在復數(shù)范圍內分解因式： ;
(2)求所有滿足 整除 的正整數(shù)n構成的集合A。
解：(1)令 解得兩個根 ，這里
所以
(2)記 。 有兩個根 ，這里 ，
22.設 ( 是正整數(shù))，利用賦值法解決下列問題：
(1)求 ;
(2) 為偶數(shù)時，求 ;
(3) 是3的倍數(shù)時，求 。
解：令 ，
(1) ，所以
(2) ，
所以
(3)記 ，則 。當 時， ，當 時， ，
記 ， ，
，
，
則
從上到下各式分別乘以 ，求得
。即
23.宇宙深處有一顆美麗的行星，這個行星是一個半徑為r(r0)的球。人們在行星表面建立了與地球表面同樣的經(jīng)緯度系統(tǒng)。已知行星表面上的A點落在北緯60，東經(jīng)30B點落在東經(jīng)30的赤道上;C點落在北緯60，東經(jīng)90。在赤道上有點P滿足PB兩點間的球面距離等于AB兩點間的球面距離。
(1)求AC兩點間的球面距離;
(2)求P點的經(jīng)度;
(3)求AP兩點間的球面距離。
解：設球心為O，北緯60圈所對應的圓心為O，
(1)那么OO= 。OA=OC= 。又因為AOC=60。
所以AC= 。那么AOC= ( )
兩點間的球面距離為 ( )
(2)PB兩點間的球面距離等于AB兩點間的球面距離，所以PB=AB。
可知POB=AOB=60，又P點在赤道上。所以P點的經(jīng)度為東經(jīng)90或西經(jīng)30。
(3)顯然P點的兩種可能對應的AP間的球面距離相等。不妨P所在的經(jīng)度為東經(jīng)90。
由條件可知OA平行OB且等于OB的一半，延長BA與OO交于D點，那么 。而OC平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共線且 。
可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。
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